René Descartes était un philosophe, mathématicien et scientifique français du XVIIe siècle. Il a créé de nombreuses formules mathématiques importantes, mais celle qui porte son nom est la formule de Descartes, également connue sous le nom de règle des signes de Descartes.
Cette formule est utilisée pour déterminer le nombre de racines positives, négatives et imaginaires d’une équation polynomiale en fonction du nombre de changements de signe dans la séquence de ses coefficients.
On peut procécer de plusieurs manières
La formule de Descartes peut être exprimée comme suit:
Soit P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0, une équation polynomiale à coefficients réels.
Le nombre de racines positives de P(x) est égal au nombre de changements de signe dans la séquence des coefficients de P(x) ou est moins que cela par un nombre pair.
Le nombre de racines négatives de P(x) est égal au nombre de changements de signe dans la séquence des coefficients de P(-x), ou moins que cela par un nombre pair.
Le nombre de racines imaginaires de P(x) est égal au nombre de rotations de 90 degrés du demi-plan complexe traversé par le graphe de P(x) lors de la variation de x de -∞ à +∞, ou moins que cela par un nombre pair.
Notons quelques raisons
La formule de Descartes est utilisée en mathématiques pour déterminer rapidement le nombre de racines réelles et imaginaires d’une équation polynomiale sans avoir à résoudre l’équation explicitement.
La formule est également importante en physique et en ingénierie, où elle peut être utilisée pour déterminer le nombre de modes de vibration d’un système mécanique ou électrique.
Bon à savoir:
La formule de Descartes peut être utilisée pour toutes les équations polynomiales à coefficients réels. Elle se retrouve dans tous les problèmes de mathématiques qui impliquent la recherche des racines d’une équation polynomiale.
Chiffres et exemples
Voici un exemple d’application de la formule de Descartes:
Soit P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6, une équation polynomiale à coefficients réels.
Le nombre de racines positives de P(x) est égal au nombre de changements de signe dans la séquence des coefficients de P(x) ou est moins que cela par un nombre pair. Dans ce cas, il y a deux changements de signe: de + à -, puis de – à +. Le nombre de racines positives est donc égal à 1 ou 3.
Le nombre de racines négatives de P(x) est égal au nombre de changements de signe dans la séquence des coefficients de P(-x), ou moins que cela par un nombre pair. Dans ce cas, P(-x) = -x3 + 2x2 + 5x – 6. Il y a un seul changement de signe: de + à -. Le nombre de racines négatives est donc égal à 1.
Le nombre de racines imaginaires de P(x) est égal au nombre de rotations de 90 degrés du demi-plan complexe traversé par le graphe de P(x) lors de la variation de x de -∞ à +∞, ou moins que cela par un nombre pair. Dans ce cas, il n’y a pas de racines imaginaires puisque le nombre de rotations est pair (deux).
Ainsi, cette équation polynomiale a une racine positive, une racine négative et pas de racine imaginaire.