Quand Est-ce que f n’est pas dérivable

Définition de la dérivabilité

Avant de répondre à la question, il est important de rappeler la définition de la dérivabilité. Pour une fonction f définie sur un intervalle I et un point a de I, f est dite dérivable en a si la limite suivante existe et est finie :

f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) – f(a)]/h

Ce nombre f'(a) est appelé la dérivée de f en a. Cela signifie que si f est suffisamment régulière dans un petit voisinage de a, alors la fonction f possède une tangente en a dont la pente est la dérivée f'(a).

Quand est-ce que f n’est pas dérivable

La fonction f n’est pas dérivable en a si cette limite n’existe pas ou est infinie. Plusieurs situations peuvent conduire à ce résultat :

– Discontinuité au point a : si f possède une discontinuité en a, alors elle n’est pas dérivable en a. Par exemple, la fonction valeur absolue |x| n’est pas dérivable en x=0 car elle est discontinue en ce point.
– Cuspide en a : une fonction qui possède une cuspide en a n’est pas dérivable en a. Par exemple, la fonction cube racine cubique f(x) = x^(1/3) possède une cuspide en x = 0 et n’est pas dérivable en ce point.
– Angle en a : si f possède un angle en a, alors elle n’est pas dérivable en a. Les fonctions avec des varangues en certains points ne sont pas dérivables en ces points car elles ont une «pointe» en ce point.
– Point anguleux en a : si f possède un point anguleux (point de rebroussement) en a, alors elle n’est pas dérivable en a. Par exemple, la fonction valeur absolue f(x) = |x| possède un point anguleux en x = 0 et n’est pas dérivable en ce point.
– Autres cas : il peut y avoir d’autres cas où f n’est pas dérivable en a. Par exemple, la fonction f(x) = x.sin(1/x) n’a pas de limite lorsque x tend vers 0 et n’est donc pas dérivable en x=0.

Pourquoi une fonction peut-elle ne pas être dérivable

La dérivabilité d’une fonction est liée à sa régularité. Si une fonction présente des discontinuités, des varangues, des angles, des points anguleux, ou d’autres comportements «bizarres», alors elle peut ne pas être dérivable en certains points. La dérivabilité d’une fonction est donc un outil pour étudier sa régularité et son «lissage».

Exemples

– La fonction valeur absolue |x| n’est pas dérivable en x = 0 car elle est discontinue en ce point. Sa courbe présente un angle :

– La fonction cube racine cubique f(x) = x^(1/3) possède une cuspide en x = 0 et n’est pas dérivable en ce point :

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Sources :
– « Cours de mathématiques : Analyse », J.-M. Arnaudiès et K. Baraka, Lycée Louis-le-Grand
– « Fonction dérivable », Wikipédia.