Pour démontrer que x ≠ 0 lorsque |x – a| < |a|, on peut utiliser une approche par l’absurde.
Supposons que x = 0. Dans ce cas, nous avons :
|0 – a| < |a|
ce qui peut être réécrit comme :
| – a| < |a|
en utilisant la propriété que | – a| = |a|.
On peut maintenant inverser l’inégalité :
|a| < |a|
Cependant, cela conduit à une contradiction, car un nombre réel ne peut pas être strictement inférieur à sa propre valeur absolue. Par conséquent, notre supposition selon laquelle x = 0 était fausse, et nous pouvons conclure que x ≠ 0.
On a |x – a| < |a| : Démonstration que x est du même signe que a
Pour démontrer que x est du même signe que a lorsque |x – a| < |a|, nous pouvons utiliser la méthode suivante :
Supposons que x ait un signe différent de a. Il y a alors trois cas possibles :
Cas 1 : x > 0 et a < 0
Dans ce cas, nous pouvons décomposer l’expression |x – a| < |a| comme suit :
x + (-a) < a
Cette inégalité implique :
x < 2a
En choisissant a < 0 suffisamment petit, nous pouvons rendre cette inégalité fausse, ce qui contredit notre hypothèse de départ. Par conséquent, ce cas n’est pas possible.
Cas 2 : x < 0 et a > 0
De manière similaire, nous pouvons décomposer l’inégalité comme suit :
(-x) + a < a
Cela implique :
-x < 0
Donc, x > 0, ce qui contredit notre supposition initiale. Par conséquent, ce cas n’est pas possible.
Cas 3 : x = 0 et a = 0
Dans ce cas, x et a ont le même signe, mais cette situation est déjà exclue car nous avons démontré précédemment que x ≠ 0.
En résumé, en examinant tous les cas possibles, nous pouvons conclure que si |x – a| < |a|, alors x a le même signe que a.