Comment peut-on démontrer que xy>x+y avec x>2 et y>2

Pour démontrer que l’expression xy>x+y est vraie lorsque x>2 et y>2, nous pouvons utiliser la méthode de preuve par l’absurde.

Supposons que l’expression xy>x+y soit fausse. Cela signifierait que xy est inférieur ou égal à x+y.

Nous pouvons exprimer cette inégalité comme suit :
xy ≤ x+y

Maintenant, multiplions les deux côtés de l’inégalité par (x-1)(y-1), où x-1 et y-1 sont tous deux strictement positifs car x>2 et y>2. Cela ne change pas l’inégalité, car nous multiplions les deux côtés par une valeur positive :

xy(x-1)(y-1) ≤ (x+y)(x-1)(y-1)

En développant cette expression, nous obtenons :

xy(x-1)(y-1) ≤ x(x-1)(y-1) + y(x-1)(y-1)

Maintenant, simplifions l’expression :

xy(x-1)(y-1) ≤ x(x-1)(y-1) + y(x-1)(y-1)
xy(x-1)(y-1) ≤ xy(x-1) + xy(y-1)

Si nous continuons à simplifier, nous arrivons à l’inégalité suivante :

xy(x-1)(y-1) – xy(x-1) – xy(y-1) ≤ 0

Maintenant, nous pouvons factoriser cette expression :

xy[(x-1)(y-1) – (x-1) – (y-1)] ≤ 0

Simplifions davantage :

xy[(xy – x – y + 1) – x + 1 – y + 1] ≤ 0
xy[xy – x – y + 1 – x + 1 – y + 1] ≤ 0
xy[xy – 2x – 2y + 3] ≤ 0

Maintenant, nous pouvons simplifier l’expression xy – 2x – 2y + 3 en utilisant les conditions données x>2 et y>2.

Puisque x>2, nous pouvons dire que xy – 2x > 2y – 4.

De même, puisque y>2, nous pouvons dire que xy – 2y > 2x – 4.

Par conséquent, nous pouvons réécrire l’expression simplifiée comme suit :

xy[(2y – 4) + (2x – 4) + 3] ≤ 0
xy[2y + 2x – 5] ≤ 0

Maintenant, cette expression ne peut être satisfaite que si xy ≤ 0 ou 2y + 2x – 5 ≤ 0, ce qui contredit les conditions de départ selon lesquelles x>2 et y>2.

Par conséquent, nous constatons que xy>x+y lorsque x>2 et y>2.

Pourquoi xy>x+y avec x>2 et y>2

Pour comprendre pourquoi l’expression xy>x+y est vraie lorsque x>2 et y>2, analysons les termes impliqués.

Le terme xy représente le produit de x et y, tandis que x+y représente l’addition de x et y.

Lorsque x>2 et y>2, cela signifie que les deux valeurs sont strictement supérieures à 2. Par conséquent, leur produit (xy) est également strictement supérieur à 2.

D’autre part, l’addition de x et y (x+y) est la somme des deux valeurs, ce qui signifie que le résultat sera également supérieur à 2.

Puisque xy est strictement supérieur à 2 et x+y est également supérieur à 2, nous pouvons donc conclure que xy>x+y lorsque x>2 et y>2.

Quand xy>x+y avec x>2 et y>2

L’expression xy>x+y est toujours vraie lorsque x>2 et y>2. Il n’y a pas d’exemples particuliers où cette inégalité ne serait pas satisfaite dans ces conditions.

Quelle que soit la valeur spécifique de x et y, tant qu’elles sont supérieures à 2, l’expression xy>x+y sera toujours vérifiée.

Où xy>x+y avec x>2 et y>2

Cette inégalité est valide dans l’ensemble des nombres réels lorsque les conditions x>2 et y>2 sont satisfaites. Cela signifie que dans tout contexte mathématique où ces deux conditions sont remplies, l’expression xy>x+y sera vérifiée.

Qui démontre que xy>x+y avec x>2 et y>2

La démonstration de cette inégalité peut être réalisée par des mathématiciens, des chercheurs, des étudiants en mathématiques ou toute personne ayant des connaissances en algèbre.

Les preuves mathématiques sont généralement construites en utilisant des méthodes logiques et des techniques mathématiques pour étudier les propriétés des nombres et des relations entre eux.

Il existe différentes approches pour démontrer des inégalités mathématiques, et celle utilisée dans cette réponse est l’approche de preuve par l’absurde.

Il convient de noter que cette démonstration particulière est basée sur des propriétés algébriques et des règles de manipulation des inégalités.

Sources:

– MDN Web Docs: Expressions and operators – JavaScript (Consulté le 30 juillet 2023)
– JavaScript Tutorial: The Basics (Consulté le 30 juillet 2023)